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2015年03月09日 18時28分 JST | 更新 2015年05月08日 18時12分 JST

傘をどこに忘れてきたか、という問題 (2015年第9回)

A君は施設に傘を持って入るたびに、1/3の確率で傘を忘れます。ある朝、A君は傘を持って家を出て、病院→学校→図書館と3つの施設を回って家に着いたところ、傘を持ってないことに気づきました。どの施設で傘を忘れた可能性が高いでしょう?

Pyrosky via Getty Images
Conceptual photo of different color umbrellas lined-up across the sky. Sun is behind them shining, and this concept can represent team work, individuality, success of different people working together etc.

こんにちは、鍵本です。

先週東京出張の際にハフィントンポストの編集の方とお話する機会があり、「三角パズルとエッセイの部分を分けたらどうか」とのご提案を頂き、私も同感だったので、今回からエッセイ部分と三角パズルを分離して掲載することにします。両方ともユル~く週ごとに更新していこうと思います。

エッセイは週のはじめごろ(月曜か火曜)、三角パズルは週の終わりごろ(金曜か土曜)にするようにしますが、たまに出張などで前後したり休載することもあるかもしれません。その際はご了承ください。

さて今回は「忘れ物」の話です。おみくじなどを引くと、必ず「失せ物」の項目があることを考えると、物を失くして悩んでいる人が意外と多いのかな、と思ったりします。実は私、物を失くしたり忘れたりする常習犯なので、特に関心が深いのです。

ところで、あるものを忘れたときに「どこで忘れた可能性が高い?」というのは意外と重要な問題です。次の問題を見てみましょう。

問題:

A君は施設に傘を持って入るたびに、1/3の確率で傘を忘れます。

ある朝、A君は傘を持って家を出て、病院→学校→図書館と3つの施設を回って家に着いたところ、傘を持ってないことに気づきました。どの施設で傘を忘れた可能性が高いでしょう? 次の選択肢から選んでみてください。

(a)病院で忘れた確率が高い

(b)学校で忘れた確率が高い

(c)図書館で忘れた確率が高い

(d)3つとも同じ確率だ

普通に考えるとどの建物でも確率は同じであるような気もしますし、最後の図書館で忘れた可能性が高いような気もします。数学的に計算してみましょう。

考えられるパターンとしては次の4つがあります。

・病院で傘を忘れる。

・病院で傘を忘れずに学校で傘を忘れる。

・病院でも学校でも傘を忘れずに図書館で傘を忘れる。

・病院でも学校でも図書館でも傘を忘れずに家にたどり着く。

これらの起こる確率を計算すると次のようになります。

・病院で傘を忘れる。

   1/3

・病院で傘を忘れずに学校で傘を忘れる。

   (1-1/3)×1/3=2/9

・病院でも学校でも傘を忘れずに図書館で傘を忘れる。

   (1-1/3)×(1-1/3)×1/3=4/27

・病院でも学校でも図書館でも傘を忘れずに家にたどり着く。

   (1-1/3)×(1-1/3)×(1-1/3)=8/27

わかりやすいようにこれら4つの確率の比を求めると、

1/3:2/9:4/27:8/27=9:6:4:8

となり、最初の病院で傘を忘れた確率が一番高い、ということになります。

ちなみに、実際にはどこかで傘を忘れてきたので、前にご紹介した「条件付き確率」の考え方を適用すると、

病院で傘を忘れた確率=9/19

学校で傘を忘れた確率=6/19

図書館で傘を忘れた確率=4/19

ということになります。実際には「建物に入るたびに1/3の高確率で傘を忘れて、しかも家に帰るまで気がつかない」というのは、なかなかレアなケースだとは思いますが、そういう人もいるかもしれませんね。ここでは省略しますが、実はこの確率1/3の代わりに、建物で傘を忘れる確率=pとしてやってみても、同じく最初の建物で忘れた可能性が高いことがわかります。大学や大学院受験を考えてらっしゃる方にはぜひその証明もやっていただきたいものです。

とりあえず覚えておくといいのは、

家に帰るまでまったく気がつかなかった忘れ物は、最初の建物で忘れた可能性が高い

ということです。何かの参考になるといいですね。